Question

10．已知函數(shù)f（x）=|x²-5x+4|，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$[1，\frac{5}{2}]$，[4，+∞）；若方程f（x）=mx有三個不相等的實(shí)根，則m=1，且三個實(shí)根的和是8．

Answer 1

分析 ①由|x²-5x+4≥0，解得x≥4或x≤1．可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x≥4或x≤1}\\{-（x-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{1}{4}，1＜x＜4}\end{array}\right.$，可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
②方程f（x）=mx有三個不相等的實(shí)根，則直線y=mx與二次函數(shù)y=-x²+5x-4（x∈（1，4））相切．可得x²+（m-5）x+4=0，△=0，m＞0，結(jié)合圖象解得m=1（m=9舍去）．由m=1，解得x．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-5x+4}\end{array}\right.$，x≥4或x≤1，化為x²-6x+4=0，可得x₁+x₂即可得出．

解答 解：①由|x²-5x+4≥0，解得x≥4或x≤1．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5x+4，x≥4或x≤1}\\{-{x}^{2}+5x-4，1＜x＜4}\end{array}\right.$，配方可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{5}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x≥4或x≤1}\\{-（x-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{1}{4}，1＜x＜4}\end{array}\right.$，
可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：$[1，\frac{5}{2}]$，[4，+∞）．
②方程f（x）=mx有三個不相等的實(shí)根，
則直線y=mx與二次函數(shù)y=-x²+5x-4（x∈（1，4））相切．
∴x²+（m-5）x+4=0，△=（m-5）²-16=0，m＞0，結(jié)合圖象解得m=1（m=9舍去）．
由m=1，可得上述方程為：x²-4x+4=0，解得x=2．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-5x+4}\end{array}\right.$，x≥4或x≤1，化為x²-6x+4=0，解得x₁+x₂=6，
∴三個實(shí)根的和=2+6=8．
故答案分別為：$[1，\frac{5}{2}]$，[4，+∞）；2；8．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、方程的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題