【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為
,右頂點(diǎn)為
,上頂點(diǎn)為
,
,
(
為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(1)求橢圓的方程;
(2)定義:曲線在點(diǎn)
處的切線方程為
.若拋物線
上存在點(diǎn)
(不與原點(diǎn)重合)處的切線交橢圓于
、
兩點(diǎn),線段
的中點(diǎn)為
.直線
與過點(diǎn)
且平行于
軸的直線的交點(diǎn)為
,證明:點(diǎn)
必在定直線上.
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】
(1)由得出
,再由
得出
,求出
、
的值,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)中定義得出直線
的方程,并設(shè)點(diǎn)
、
,
,將直線
的方程與橢圓的方程聯(lián)立,列出韋達(dá)定理,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)
的坐標(biāo),得出直線
的方程與
的方程
聯(lián)立,求出點(diǎn)
的坐標(biāo),可得出點(diǎn)
所在的定直線的方程.
(1)由,可知
,即
.
,
,
,可得
,聯(lián)立
.
得,則
,所以
,
所以橢圓的方程為
;
(2)設(shè)點(diǎn),則由定義可知,過拋物線
上任一點(diǎn)
處的切線方程為
,所以
.
設(shè)、
,
.
聯(lián)立方程組,消去
,得
.
由,得
,解得
.
因?yàn)?/span>,
所以,從而
,
所以,所以直線
的方程為
.
而過點(diǎn)且平行于
軸的直線方程為
,
聯(lián)立方程,解得
,所以點(diǎn)
在定直線上
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面
是直角梯形,
,
,
,側(cè)面
是等腰直角三角形,
,平面
平面
,點(diǎn)
分別是棱
上的點(diǎn),平面
平面
(Ⅰ)確定點(diǎn)的位置,并說明理由;
(Ⅱ)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)
若滿足:①對(duì)任意
、
,都有
;②對(duì)任意
,都有
,則稱函數(shù)
為“中心捺函數(shù)”,其中點(diǎn)
稱為函數(shù)
的中心.已知函數(shù)
是以
為中心的“中心捺函數(shù)”,若滿足不等式
,當(dāng)
時(shí),
的取值范圍為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有200人參加了一次會(huì)議,為了了解這200人參加會(huì)議的體會(huì),將這200人隨機(jī)號(hào)為001,002,003,…,200,用系統(tǒng)抽樣的方法(等距離)抽出20人,若編號(hào)為006,036,041,176, 196的5個(gè)人中有1個(gè)沒有抽到,則這個(gè)編號(hào)是( )
A. 006B. 041C. 176D. 196
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上的橢圓
的焦距為4,且橢圓
過點(diǎn)
.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(diǎn)的直線
與橢圓
交于
,
兩點(diǎn),
,求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)一種零件,其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分:指標(biāo)大于或等于100為優(yōu)品,大于等于90且小于100為合格品,小于90為次品,現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件各100件進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:
測(cè)試指標(biāo) | [85,90) | [90,95) | [95,100) | [100,105) | [105,110) |
甲機(jī)床 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
乙機(jī)床 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
(1)試分別估計(jì)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件為優(yōu)品的概率;
(2)甲機(jī)床生產(chǎn)1件零件,若是優(yōu)品可盈利160元,合格品可盈利100元,次品則虧損20元,假設(shè)甲機(jī)床某天生產(chǎn)50件零件,請(qǐng)估計(jì)甲機(jī)床該天的利潤(單位:元);
(3)從甲、乙機(jī)床生產(chǎn)的零件指標(biāo)在[90,95)內(nèi)的零件中,采用分層抽樣的方法抽取5件,從這5件中任意抽取2件進(jìn)行質(zhì)量分析,求這2件都是乙機(jī)床生產(chǎn)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)
處的切線與直線
平行,求
的值;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.
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