Question

設(shè)工廠到鐵路線的垂直距離為20km,垂足為B.鐵路線上距離B為100km處有一原料供應(yīng)站C,現(xiàn)要在鐵路BC之間某處D修建一個原料中轉(zhuǎn)車站,再由車站D向工廠修一條公路.如果已知每千米的鐵路運(yùn)費(fèi)與公路運(yùn)費(fèi)之比為3:5,那么,D應(yīng)選在何處,才能使原料供應(yīng)站C運(yùn)貨到工廠A所需運(yùn)費(fèi)最省?

Answer 1

車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時,運(yùn)費(fèi)最省.

解析:

由勾股定理建模.設(shè)BD之間的距離為km,則|AD|=,|CD|=.如果公路運(yùn)費(fèi)為元/km,那么鐵路運(yùn)費(fèi)為元/km.故從原料供應(yīng)站C途經(jīng)中轉(zhuǎn)站D到工廠A所需總運(yùn)費(fèi)為:+,().對該式求導(dǎo),得=+=,令,即得25=9(),解之得

=15,=-15(不符合實(shí)際意義,舍去).且=15是函數(shù)在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn),所以=15是函數(shù)的極小值點(diǎn),而且也是函數(shù)的最小值點(diǎn).由此可知,車站D建于B,C之間并且與B相距15km處時,運(yùn)費(fèi)最省.

【名師指引】 這是一道實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,建立的目標(biāo)函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù),用過去的知識求其最值往往沒有一般方法,即使能求出,也要涉及到較高的技能技巧.而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識,求復(fù)合函數(shù)的最值就變得非常簡單.