Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+bx為偶函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2f（a_n-1）+1，且a₁=5，又設(shè)b_n=log₂（a_n-1），
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=x²+bx為偶函數(shù)，可得b=0，可得a_n+1-1=2$（{a}_{n}-1）^{2}$，取對數(shù)：log₂（a_n+1-1）=2log₂（a_n-1）+1，可得：b_n+1+1=2（b_n+1），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由（1）得c_n=nb_n=n×3×2^n-1-n．利用“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+bx為偶函數(shù)，∴b=0，
∴a_n+1=2f（a_n-1）+1=2$（{a}_{n}-1）^{2}$+1，
∴a_n+1-1=2$（{a}_{n}-1）^{2}$，
∴l(xiāng)og₂（a_n+1-1）=2log₂（a_n-1）+1，
∴b_n+1=2b_n+1，變形為：b_n+1+1=2（b_n+1），
b₁+1=log₂（a₁-1）=2+1=3，
∴數(shù)列{b_n+1}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，
∴b_n+1=3×2^n-1，解得：b_n=3×2^n-1-1．
（2）由（1）得c_n=nb_n=n×3×2^n-1-n．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和S_n=3[1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1]-$\frac{n（n+1）}{2}$．
設(shè)T_n=1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1，
則2T_n=2+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n×2ⁿ，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ+1．
∴S_n=3（n-1）×2ⁿ+3-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、“錯位相減法”、遞推公式、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．