Question

13．已知橢圓C₁、拋物線C₂的焦點(diǎn)均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表中：

x	3	-2	4	$\sqrt{2}$
y	-2$\sqrt{3}$	0	-4	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

（1）求C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l過(guò)C₂的焦點(diǎn)F并與C₁交于不同的兩點(diǎn)M，N，且滿(mǎn)足$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$．求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）把拋物線C₂：y²=2px（p≠0）變?yōu)?\frac{{y}^{2}}{x}$=2p，已知可知（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）在C₂上，求出p，則拋物線方程可求；設(shè)橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），把點(diǎn)（-2，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入即可求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得M，N的橫縱坐標(biāo)的乘積，結(jié)合$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$求得k值得答案．

解答 解：（1）設(shè)拋物線C₂：y²=2px（p≠0），則有$\frac{{y}^{2}}{x}$=2p（x≠0），
據(jù)此驗(yàn)證四個(gè)點(diǎn)知（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）在C₂上，求得C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．
設(shè)橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），把點(diǎn)（-2，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}=1}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=1}\end{array}\right.$，∴C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x2}{4}$+y²=1；
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不滿(mǎn)足題意；
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x-1），
與C₁的交點(diǎn)為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，
于是x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$．①
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=k²[$\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}$-$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+1]=-$\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．②
由$\overrightarrow{OM}$⊥$\overrightarrow{ON}$，即$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，得x₁x₂+y₁y₂=0．③
將①②代入③式，得$\frac{4（{k}^{2}-1）}{1+4{k}^{2}}-\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}=\frac{{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}=0$，
解得k=±2，
∴存在直線l滿(mǎn)足條件，且直線l的方程為2x-y-2=0或2x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．