Question

【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ， 首項(xiàng)a1=a，公比為q（q≠0且q≠1）．
（1）推導(dǎo)證明：Sn= ；
（2）等比數(shù)列{an}中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)：ak、ak+1、ak+2 ， 使得這三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出符合條件的等比數(shù)列公比q的值，若不存在，說(shuō)明理由；
（3）本題中，若a=q=2，已知數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn ， 是否存在正整數(shù)n，使得Tn≥2016？若存在，求出n的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn﹣1，①

∴qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，②

①﹣②可得（1﹣q）Sn=a1﹣a1qn，

當(dāng)q≠1時(shí)，上式兩邊同除以1﹣q可得Sn=

（2）解：不存在存在連續(xù)的三項(xiàng)：ak、ak+1、ak+2，使得這三項(xiàng)成等差數(shù)列．

證明如下：若ak、ak+1、ak+2成等差數(shù)列，則：

∵ak≠0∴q2﹣q+1=0

而

∴不存在存在連續(xù)的三項(xiàng)：ak、ak+1、ak+2，使得這三項(xiàng)成等差數(shù)列

（3）解：Tn=1×21+2×22+…+n×2n①

2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1 　 ②

① ﹣②得Tn=n×2n+1﹣（21+22+23+…+2n）=（n﹣1）2n+1+2

由于Tn是遞增的，當(dāng)n=7時(shí) ；

當(dāng)n=8時(shí) ．

所以存在正整數(shù)n，使得Tn≥2016的取值集合為{n|n≥8，n∈N+}

【解析】（1）利用錯(cuò)位相減法真假求解即可．（2）不存在存在連續(xù)的三項(xiàng)：ak、ak+1、ak+2 ， 使得這三項(xiàng)成等差數(shù)列．利用等差數(shù)列的等差中項(xiàng)列出關(guān)系式，推出矛盾結(jié)果．（3）利用錯(cuò)位相減法求出前n項(xiàng)和，通過(guò)數(shù)列的單調(diào)性判斷n=7與8時(shí)，推出結(jié)果即可．
【考點(diǎn)精析】掌握等比數(shù)列的基本性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道{an}為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列;{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列== {an}是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列．