Question

6．過(guò)雙曲線x²-$\frac{y^2}{15}$=1的右支上一點(diǎn)P，分別向圓C₁：（x+4）²+y²=4和圓C₂：（x-4）²+y²=1作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|PM|²-|PN|²的最小值為（　�。�

• A． 10
• B． 13
• C． 16
• D． 19

Answer 1

分析 求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的左右焦點(diǎn)為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），連接PF₁，PF₂，F(xiàn)₁M，F(xiàn)₂N，運(yùn)用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和取得最小值，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：圓C₁：（x+4）²+y²=4的圓心為（-4，0），半徑為r₁=2；
圓C₂：（x-4）²+y²=1的圓心為（4，0），半徑為r₂=1，
設(shè)雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的左右焦點(diǎn)為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
連接PF₁，PF₂，F(xiàn)₁M，F(xiàn)₂N，可得
|PM|²-|PN|²=（|PF₁|²-r₁²）-（|PF₂|²-r₂²）
=（|PF₁|²-4）-（|PF₂|²-1）
=|PF₁|²-|PF₂|²-3=（|PF₁|-|PF₂|）（|PF₁|+|PF₂|）-3
=2a（|PF₁|+|PF₂|-3=2（|PF₁|+|PF₂|）-3≥2•2c-3=2•8-3=13．
當(dāng)且僅當(dāng)P為右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號(hào)，
即最小值13．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和圓的方程，考查三點(diǎn)共線的性質(zhì)，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．