Question

17．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線的斜率為2，過右焦點(diǎn)F作x軸的垂線交雙曲線與A，B兩點(diǎn)，△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4$\sqrt{5}$，則F到一條漸近線的距離為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)漸近線的斜率得到b=2a，求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積求出a，b，c，利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一條漸近線的斜率為2，
則y=$\frac{a}$x=2x，即$\frac{a}$=2，即b=2a，
當(dāng)x=c時(shí)，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，即，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
即y²=$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$，得y=±$\frac{^{2}}{a}$，即A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$）
則，△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4$\sqrt{5}$，
即S=$\frac{1}{2}$×c×$\frac{2^{2}}{a}$=4$\sqrt{5}$，
即cb²=4$\sqrt{5}$a，
∵b=2a，
∴4ca²=4$\sqrt{5}$a，
則ac=$\sqrt{5}$，即a²c²=a²（a²+4a²）=5a⁴=5，則a=1，b=2，c=$\sqrt{5}$
則F（c，0）到一條漸近線y-2x=0的距離為d=$\frac{|-2c|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2c}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，根據(jù)漸近線，和三角形的面積關(guān)系求出a，b，c．利用點(diǎn)到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．