Question

15．已知F₁、F₂分別是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F₁的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于P、Q兩點，|F₁P|、|F₂P|、|F₁Q|成等差數(shù)列，且∠F₁PF₂=120°，則雙曲線C的離心率是（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 設(shè)|F₁P|=m，運用雙曲線的定義和等差數(shù)列的中項的性質(zhì)可得|F₂P|=m+2a，|F₁Q|=4a+m，|PQ|=4a，由條件可得△QPF₂為等邊三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F₁PF₂中，由余弦定理可得c=$\sqrt{7}$a，由離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)|F₁P|=m，由雙曲線的定義可得|F₂P|=|F₁P|+2a=m+2a，
由|F₁P|、|F₂P|、|F₁Q|成等差數(shù)列，可得2|F₂P|=|F₁P|+|F₁Q|，
即有|F₁Q|=2（2a+m）-m=4a+m，
可得|PQ|=4a，
由雙曲線的定義，可得|F₂Q|=|F₁Q|-2a=m+2a，
由∠F₁PF₂=120°，可得∠QPF₂=60°，
即有△QPF₂為等邊三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos120°，
即為4c²=4a²+16a²-2•2a•4a•（-$\frac{1}{2}$），
即有4c²=28a²，即c=$\sqrt{7}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的定義和余弦定理，同時考查等差數(shù)列的中項的性質(zhì)，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．