Question

11．已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線(xiàn)$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C的右支上，且滿(mǎn)足|PF₂|=|F₁F₂|，∠F₁F₂P=120°，則雙曲線(xiàn)的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 運(yùn)用余弦定理可得|PF₁|=2$\sqrt{3}$c，再由雙曲線(xiàn)的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，即為2$\sqrt{3}$c-2c=2a，運(yùn)用離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，∠PF₂F₁=120°，
即有|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²-2|PF₂|•|F₁F₂|cos∠PF₂F₁
=4c²+4c²-2•4c²•（-$\frac{1}{2}$）=12c²，
即有|PF₁|=2$\sqrt{3}$c，
由雙曲線(xiàn)的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，即為2$\sqrt{3}$c-2c=2a，
即有c=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$a，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的求法，注意運(yùn)用余弦定理和雙曲線(xiàn)的定義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．