Question

11．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0）．將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得到的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個單位長度后得到函數g（x）的圖象．
（1）求函數f（x）與g（x）的解析式；
（2）定義：當函數取得最值時，函數圖象上對應的點稱為函數的最值點，如果函數y=F（x）=$\sqrt{3}sin\frac{πx}{k}$的圖象上至少有一個最大值點和一個最小值點在圓x²+y²=k²（k＞0）的內部或圓周上，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數的周期為π可得ω=2，再由對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0）可得φ值，由函數圖象變換和誘導公式可得；
（2）由三角函數的知識可得F（x）與原點距離最近的最大值和最小值點分別是點$（\frac{k}{2}，\sqrt{3}）$和$（-\frac{k}{2}，-\sqrt{3}）$，由題意結合圖象可得${（\frac{k}{2}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}≤{k^2}$，解不等式可得答案．

解答 解：（1）∵函數f（x）=sin（ωx+φ）的周期為π，ω＞0，∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，
又∵曲線y=f（x）的一個對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0），φ∈（0，π），
∴sin（2×$\frac{π}{4}$+φ）=0，可得$φ=\frac{π}{2}$，∴f（x）=cos2x，
將函數f（x）圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖象，
再將y=cosx的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個單位長度后得到函數g（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）的圖象，
由誘導公式化簡可得g（x）=sinx；
（2）∵函數y=F（x）=$\sqrt{3}sin\frac{πx}{k}$在$\frac{πx}{k}=nπ+\frac{π}{2}（n∈Z）$時取得最大值或最小值，
當$x=nk+\frac{k}{2}$，即與原點距離最近的最大值和最小值點分別是點$（\frac{k}{2}，\sqrt{3}）$和$（-\frac{k}{2}，-\sqrt{3}）$，
于是有${（\frac{k}{2}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}≤{k^2}$，解不等式可得k≥2．

點評 本題考查三角函數圖象變換，數形結合轉化已知問題是解決問題的關鍵，屬中檔題．