20．求證：${A}_{1}^{1}$+2${A}_{2}^{2}$+3${A}_{3}^{3}$+…+n${A}_{n}^{n}$=${A}_{n+1}^{n+1}$-1．

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 證明：①當(dāng)n=1時，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時，有${A}_{1}^{1}$+2${A}_{2}^{2}$+3${A}_{3}^{3}$+…+k${A}_{k}^{k}$=${A}_{k+1}^{k+1}$-1，
則當(dāng)n=k+1時，${A}_{1}^{1}$+2${A}_{2}^{2}$+3${A}_{3}^{3}$+…+k${A}_{k}^{k}$+（k+1）${A}_{k+1}^{k+1}$=${A}_{k+1}^{k+1}$-1+（k+1）${A}_{k+1}^{k+1}$
=（k+2）${A}_{k+1}^{k+1}$-1
=${A}_{k+2}^{k+2}$-1，即當(dāng)n=k+1時命題成立；
由①②可知，${A}_{1}^{1}$+2${A}_{2}^{2}$+3${A}_{3}^{3}$+…+n${A}_{n}^{n}$=${A}_{n+1}^{n+1}$-1．

點評 本題考查排列及排列數(shù)公式，考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

10．直線y=kx與函數(shù)y=tanx$（-\frac{π}{2}＜x＜\frac{π}{2}）$的圖象交于M，N（不與坐標(biāo)原點O重合） 兩點，點A的坐標(biāo)為$（-\frac{π}{2}，0）$，則$（\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}）•\overrightarrow{AO}$=$\frac{{π}^{2}}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期為π，圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0）．將函數(shù)f（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得到的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個單位長度后得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；
（2）定義：當(dāng)函數(shù)取得最值時，函數(shù)圖象上對應(yīng)的點稱為函數(shù)的最值點，如果函數(shù)y=F（x）=$\sqrt{3}sin\frac{πx}{k}$的圖象上至少有一個最大值點和一個最小值點在圓x2+y2=k2（k＞0）的內(nèi)部或圓周上，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

8．實數(shù)$\frac{a+i}{2-i}$（a為實數(shù)）的共軛復(fù)數(shù)為（　�。�
A．1B．-5C．-1D．-i

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15．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），如果存在實數(shù)x0，使得對任意的實數(shù)x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，則ω的最小值為$\frac{1}{2016}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

5．設(shè)直線x=t與兩數(shù)f（x）=x2+1，g（x）=x+lnx的圖象分別交于P，Q兩點，則|PQ|的最小值為1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

12．已知P為△ABC所在平面上的一點，且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+2y$\overrightarrow{AC}$，其中x，y∈R為實數(shù)，設(shè)點M（x，y），點N（1，1），當(dāng)點P落在△ABC的內(nèi)部，|MN|的取值范圍是（$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sqrt{2}$）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=6，|$\overrightarrow{a}$$-\overrightarrow$|=8，求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．求下列定積分：
（1）${∫}_{1}^{2}$（ex-$\frac{1}{x}$）dx；
（2）${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）2dx．

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同步練習(xí)冊答案