Question

2．在△ABC中，設(shè)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{3a-c}$．
（1）求sinB的值；
（2）若b=4$\sqrt{2}$，且a=c，求邊AC上的高．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理將邊化角化簡得出；
（2）使用余弦定理解出a，得出三角形的面積，利用等面積法求出高．

解答 解：（1）∵$\frac{cosC}{cosB}$=$\frac{3a-c}$=$\frac{3sinA-sinC}{sinB}$，
∴sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB．即sinA=3sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB=$\frac{1}{3}$．
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}=\frac{2{a}^{2}-32}{2{a}^{2}}=\frac{1}{3}$．
∴a=c=2$\sqrt{6}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=8$\sqrt{2}$．
設(shè)△ABC的邊AC上的高為h，則S_△ABC=$\frac{1}{2}$bh=2$\sqrt{2}$h．
∴2$\sqrt{2}$h=8$\sqrt{2}$，∴h=4．
∴△ABC邊AC上的高為4．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題．