Question

已知函數(shù)f（x）=(

1

3

)ax2-4x+3，
（1）若a=-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
（3）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=(

1

3

)-x2-4x+3，令g（x）=-x²-4x+3，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令h（x）=ax²-4x+3，y=^h（x），由于f（x）有最大值3，所以 h（x）應(yīng)有最小值-1，進(jìn)而可得a的值．
（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使y=^h（x）的值域為（0，+∞）．應(yīng)使h（x）=ax²-4x+3的值域為R，進(jìn)而可得a的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=(

1

3

)-x2-4x+3，
令g（x）=-x²-4x+3，
由于g（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞增，在（-2，+∞）上單調(diào)遞減，
而y=^t在R上單調(diào)遞減，
所以f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，在（-2，+∞）上 單調(diào)遞增，
即函數(shù)f（ x）的遞增區(qū)間是（-2，+∞），遞減區(qū)間是（-∞，-2 ）．
（2）令h（x）=ax²-4x+3，y=^h（x），由于f（x）有最大值3，
所以 h（x）應(yīng)有最小值-1，
因此

12a-16

4a

=-1，
解得a=1．
即當(dāng)f（x）有最大值3時，a的值等于1．
（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，
要使y=h（x）的值域為（0，+∞）．
應(yīng)使h（x）=ax²-4x+3的值域為R，
因此只能有a=0．
因為若a≠0，則h（x）為二次函數(shù)，其值域不可能為R．
故 a的取值范圍是a=0．

點評：本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．