Question

16．已知拋物線G的頂點在原點，焦點在y軸的正半軸上，拋物線上的點P（m，4）到焦點的距離等于5
（Ⅰ）求拋物線G的方程；
（2）若正方形ABCD的三個頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜0≤x₂＜x₃）在拋物線上，可設直線BC的斜率k，求正方形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據題意可設拋物線的方程為：x²=2py，利用拋物線的定義求得p的值即可可得拋物線方程．
（2）利用直線方程的點斜式設出直線AB，BC，將兩直線方程分別于拋物線聯(lián)立；利用韋達定理及弦長公式表示出AB，BC；由正方形的邊長相等，得到斜率與坐標的關系，代入BC中，得到函數解析式l=f（k），利用基本不等式求出正方形邊長的最小值，即可得解正方形ABCD面積的最小值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）依題意，設拋物線方程為：x²=2py，
又∵4+$\frac{p}{2}$=5，即p=2，
∴拋物線的方程為：x²=4y，…（4分）
（2）由（1），可設直線BC的方程為：y=k（x-x₂）+$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$（k＞0），$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-{x}_{2}）+\frac{{x}_{2}^{2}}{4}}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，
易知x₂、x₃為該方程的兩個根，故有x₂+x₃=4k，得x₃=4k-x₂，
從而得|BC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$（x₃-x₂）=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$（2k-x₂），…（6分）
類似地，可設直線AB的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x-x₂）+$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$，
從而得|AB|=$\frac{2\sqrt{1+{k}^{2}}}{{k}^{2}}$（2+kx₂），…（8分）
由|AB|=|BC|，得k²•（2k-x₂）=（2+kx₂），
解得x₂=$\frac{2（{k}^{3}-1）}{{k}^{2}+k}$，l_邊長=f（k）=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}（{k}^{2}+1）}{k（k+1）}$（k＞0）…（10分）
因為l_邊長=f（k）=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}（{k}^{2}+1）}{k（k+1）}$≥$\frac{4\sqrt{2k}×2k}{k（k+1）}$=4$\sqrt{2}$，（當且僅當k=1時取得最小值）…（12分）
所以S_{正方形ABCD}=l_邊長²≥32，即S的最小值為32，當且僅當k=1時取得最小值．…（14分）

點評 本題考查拋物線的簡單性質，考查待定系數法，突出考查拋物線的定義的理解與應用，考查求曲線軌跡方程的常用方法：定義法；考查直線與圓錐曲線的位置關系，常用的處理方法是將方程聯(lián)立用韋達定理，考查直線與圓錐曲線相交得到的弦長公式，屬于中檔題．