Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+1（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）過點P（1，2），求該曲線在點P處的切線方程；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）若a=4，令g（x）=f（f（x））-b，其中b∈（-$\frac{5}{3}$，1），求y=g（x）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出a的值，求出f′（1），代入切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的極值，通過討論討論b討論的范圍，結(jié)合函數(shù)的圖象求出函數(shù)的零點個數(shù)即可．

解答 解：（1）若曲線y=f（x）過點P（1，2），
則2=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$a+1．解得：a=-$\frac{2}{3}$，
于是f（x）=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x²+1，f′（x）=2x²+$\frac{2}{3}$x，f′（1）=$\frac{8}{3}$，
∴切線方程是y-2=$\frac{8}{3}$（x-1），即8x-3y-2=0；
（2）由f′（x）=2x（x-$\frac{a}{2}$）=0，解得：x=0或x=$\frac{a}{2}$，
當(dāng)a=0時，f′（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）無極大值，
當(dāng)a＞0時，x∈（-∞，0），f′（x）＞0，f（x）遞增，
x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
∴f（x）_極大值=f（0）=1，
a＜0時，x∈（-∞，$\frac{a}{2}$），f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（$\frac{a}{2}$，0），f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）_極大值=f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{3}}{24}$，
綜上，a=0時，f（x）無極大值，a＞0時，f（x）的極大值是1，
a＜0時，f（x）_極大值是1-$\frac{{a}^{3}}{24}$，
（3）a=4時，f（x）=$\frac{2}{3}$x³-2x²+1，f′（x）=2x（x-2），
f（x）在（-∞，0）遞增，（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
f（x）_極大值=f（0）=1，f（x）_極小值=f（2）=-$\frac{5}{3}$，
函數(shù)f（x）的圖象如圖1：

令f（x）=t，∵x∈R，∴t∈R，
∴y=f（x）與y=f（t）的圖象相同，g（x）=f（f（x））-b的零點個數(shù)
即為方程f（f（x））=b不同實數(shù)解的個數(shù)，
先討論f（t）=b的解的情況，f（t）的圖象如圖2，

再討論方程f（x）=t的解的情況，
①注意到f（1）=-$\frac{1}{3}$，∴當(dāng)-$\frac{1}{3}$＜b＜1時，
f（t）=b有3個實數(shù)解t₁（t₁＞2），t₂（0＜t₂＜1），t₃（-1＜t₃＜0），
∵f（x）=t₁有1個實數(shù)解，f（x）=t₂有3個實數(shù)解，f（x）=t₃有3個實數(shù)解，
故f（f（x））=b（b∈（-$\frac{1}{3}$，1））共有7個實數(shù)解；
②當(dāng)b=-$\frac{1}{3}$時，f（t）=-$\frac{1}{3}$有3個實數(shù)解t₁=1+$\sqrt{3}$，t₂=1，t₃=1-$\sqrt{3}$，
∵f（x）=t₁有1個實數(shù)解，f（x）=t₂有2個實數(shù)解，f（x）=t₃有3個實數(shù)解，
故f（f（x））=-$\frac{1}{3}$（b∈（-$\frac{1}{3}$，1））共有6個實數(shù)解；
③當(dāng)-$\frac{5}{3}$＜b＜-$\frac{1}{3}$時，f（t）=b有3個實數(shù)解t₁（t₁＞2），t₂（1＜t₂＜2），t₃（-1＜t₃＜0），
∵f（x）=t₁有1個實數(shù)解，f（x）=t₂有1個實數(shù)解，f（x）=t₃有3個實數(shù)解，
故f（f（x））=b（b∈（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{1}{3}$））共有5個實數(shù)解；
綜上：當(dāng)-$\frac{5}{3}$＜b＜-$\frac{1}{3}$時，函數(shù)y=g（x）有5個零點，
當(dāng)b=-$\frac{1}{3}$時，函數(shù)y=g（x）有6個零點，
當(dāng)-$\frac{1}{3}$＜b＜1時，函數(shù)y=g（x）有7個零點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的零點問題數(shù)形結(jié)合思想，是一道綜合題．