Question

13．如圖，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，AB⊥BE，AB=BE=2，AF=1．
（Ⅰ）求證：AC∥平面DEF；
（Ⅱ） 求證：平面BDE⊥平面DEF；
（Ⅲ）求直線BF和平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）取DE的中點(diǎn)G，連結(jié)OG，F(xiàn)G，通過證明四邊形OAFG是平行四邊形得出AO∥FG，從而得出AC∥平面DEF；
（II）通過證明AC⊥平面BDE得FG⊥平面BDE，從而得出平面BDE⊥平面DEF；
（III）作BH⊥DE，垂足為H，連結(jié)FH，則∠BFH為是直線BF與平面DEF所成的角，利用勾股定理計(jì)算BF，BD，DE得出BH，從而可得sin∠BFH．

解答 證明：（Ⅰ）連接AC，BD交點(diǎn)為O，取DE的中點(diǎn)G，連結(jié)OG，F(xiàn)G，
∵四邊形ABCD為正形，∴O為BD中點(diǎn)．
∴OG∥BE，且OG=$\frac{1}{2}$BE．
又∵AF∥BE，AF=$\frac{1}{2}$BE，
∴AF∥OG，AF=OG，
∴四邊形OAFG為平行四邊形，
∴AO∥FG，即AC∥FG．
又AC?平面DEF，F(xiàn)G?平面DEF，
∴AC∥平面DEF．
（Ⅱ）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，∴BE⊥AC．
又四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD．
又BD∩BE=B，BD?平面BDE，BE?平面BDE，
∴AC⊥平面BDE．
由（Ⅰ）可知AC∥FG，∴FG⊥平面BDE，
又FG?平面DEF，
∴平面BDE⊥平面DEF，
（Ⅲ）作BH⊥DE，垂足為H，連結(jié)FH，
∵平面BDE⊥平面DEF，平面BDE∩平面DEF=DE，
∴BH⊥平面DEF．
∴∠BFH為是直線BF與平面DEF所成的角．
∵四邊形ABCD是正方形，AB=BE=2，AF=1，
∴BD=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{B{E}^{2}+B{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，BF=$\sqrt{A{F}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BH=$\frac{BE•BD}{DE}$=$\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴sin∠BFH=$\frac{BH}{BF}$=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$，
∴直線BF和平面DEF所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的判定，線面角的計(jì)算，熟練掌握各位置關(guān)系的判定定理是證明的依據(jù)，屬于中檔題．