Question

5．地鐵三號(hào)線開通后，某地鐵站人流量增大，小A瞄準(zhǔn)商機(jī)在地鐵口投資72萬(wàn)元購(gòu)得某商鋪使用權(quán)，且商鋪?zhàn)罡呤褂媚晗逓?0年，現(xiàn)小A將該商鋪出租，第一年租金為5.4萬(wàn)元，以后每年租金比上一年增加0.4萬(wàn)元，設(shè)商鋪?zhàn)獬龅臅r(shí)間為x（0＜x≤40）年．
（1）求商鋪?zhàn)獬鰔年后的租金總和y；
（2）若只考慮租金所得收益，則出租多長(zhǎng)時(shí)間能收回成本；
（3）小A考慮在商鋪出租x年后，將商鋪的使用權(quán)轉(zhuǎn)讓，若商鋪轉(zhuǎn)讓的價(jià)格F與出租的時(shí)間x滿足關(guān)系式：F（x）=-0.3x²+10.56x+57.6，則何時(shí)轉(zhuǎn)讓商鋪，能使小A投資此商鋪所得年平均收益P（x）最大？

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的求和公式，求商鋪?zhàn)獬鰔年后的租金總和y；
（2）由0.2x²+5.2x≥72，可得結(jié)論；
（3）P（x）=（-0.3x²+10.56x+57.6+0.2x²+5.2x-72）÷x=-（0.1x+$\frac{14.4}{x}$）+15.76≤-2.4+15.76=13.36，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）第一年租金為5.4萬(wàn)元，以后每年租金比上一年增加0.4萬(wàn)元，
∴商鋪?zhàn)獬鰔年后的租金總和y=5.4x+$\frac{x（x-1）}{2}×0.4$=0.2x²+5.2x（0＜x≤40）；
（2）由0.2x²+5.2x≥72，可得x≥10，即出租10年能收回成本；
（3）P（x）=（-0.3x²+10.56x+57.6+0.2x²+5.2x-72）÷x=-（0.1x+$\frac{14.4}{x}$）+15.76≤-2.4+15.76=13.36，
當(dāng)且僅當(dāng)0.1x=$\frac{14.4}{x}$，即x=12年，轉(zhuǎn)讓商鋪，能使小A投資此商鋪所得年平均收益P（x）最大．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．