Question

6．如圖（1），△ABC中，∠ABC=90°，$AB=BC=2\sqrt{2}$，M為AC中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABM沿著B(niǎo)M邊折起，如圖（2）所示．

（Ⅰ）求證：平面BCM⊥平面ACM．
（Ⅱ）若平面ABM⊥平面BCM，求三棱錐B-ACM外接球的直徑．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定定理結(jié)合面面垂直的判定定理，可得平面BCM⊥平面ACM．
（Ⅱ）若平面ABM⊥平面BCM，則AM、MC、BM兩兩垂直，即該三棱錐外接球與以MA、MB、MC為相鄰棱組成的長(zhǎng)方體的外接球?yàn)橥�一個(gè)球，進(jìn)而可得答案．

解答 證明：（I）由圖1知，BM⊥AM，BM⊥MC，AM∩MC=M，
所以BM⊥平面AMC．…（3分）
又因?yàn)锽M?平面BMC，
所以平面BCM⊥平面ACM．…（4分）
解：（II）因?yàn)槠矫鍭BM⊥平面BCM，平面ABM∩平面BCM=BM，BM⊥AM，AM?平面ABM，
所以AM⊥平面BMC．…（6分）
所以AM⊥MC，即AM、MC、BM兩兩垂直，
而易知AM=BM=MC=2，
所以該三棱錐外接球與以MA、MB、MC為相鄰棱組成的長(zhǎng)方體的外接球?yàn)橥�一個(gè)球，
所以三棱錐B-ACM外接球的直徑為$\sqrt{{2^2}+{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{3}$．…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，球內(nèi)接多面體，難度中檔．