Question

11．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x+m}{x-2}$（a＞0且a≠1）的定義域?yàn)閧x|x＞2或x＜-2}．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（$\frac{2}{x}$），對(duì)函數(shù)g（x）定義域內(nèi)任意的x₁，x₂，若x₁+x₂≠0，求證：g（x₁）+g（x₂）=g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}$）；
（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a-4，r）上的值域?yàn)椋?，+∞），求a-r的值．

Answer 1

分析 （1）解$\frac{x+2}{x-2}＞0$可得x＞2，或x＜-2，這樣即可得出m=2；
（2）根據(jù)f（x）的解析式可以求出g（x）=$lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$，進(jìn)行對(duì)數(shù)的運(yùn)算可以求出$g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）=lo{g}_{a}\frac{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{2}}$，并可以求出$g（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）=lo{g}_{a}\frac{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{2}}$，從而得出$g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）=g（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）$；
（3）分離常數(shù)得到$f（x）=lo{g}_{a}（1+\frac{4}{x-2}）$，可看出a＞1時(shí)，f（x）在（a-4，r）上單調(diào)遞減，從而可以得到$f（x）＞lo{g}_{a}（1+\frac{4}{r-2}）$，且a=6，從而有$1+\frac{4}{r-2}=6$，這樣即可求出r，從而得出a-r，同樣的方法可以求出0＜a＜1時(shí)的a，r值，從而求出a-r．

解答 解：（1）m=2時(shí)，解$\frac{x+2}{x-2}＞0$得，x＞2，或x＜-2；
∴m=2；
（2）證明：$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+2}{x-2}$，$g（x）=lo{g}_{a}\frac{\frac{2}{x}+2}{\frac{2}{x}-2}=lo{g}_{a}\frac{1+x}{1-x}$；
∴g（x₁）+g（x₂）=$lo{g}_{a}（\frac{1+{x}_{1}}{1-{x}_{1}}•\frac{1+{x}_{2}}{1-{x}_{2}}）$=$lo{g}_{a}\frac{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{2}}$；
$g（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）=lo{g}_{a}\frac{1+\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}}{1-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}}$=$lo{g}_{a}\frac{1+{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}-{x}_{2}}$；
∴$g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）=g（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{1+{x}_{1}{x}_{2}}）$；
（3）$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+2}{x-2}=lo{g}_{a}（1+\frac{4}{x-2}）$；
∴①若a＞1，f（x）在（a-4，r）上單調(diào)遞減；
∴$lo{g}_{a}（1+\frac{4}{r-2}）＜f（x）＜lo{g}_{a}（1+\frac{4}{a-6}）$；
∴$a=6，1+\frac{4}{r-2}=a=6$；
∴$r=\frac{14}{5}$；
∴$a-r=\frac{16}{5}$；
②若0＜a＜1，f（x）在（a-4，r）上單調(diào)遞增；
∴$lo{g}_{a}（1+\frac{4}{a-6}）＜f（x）＜lo{g}_{a}（1+\frac{4}{r-2}）$；
∴$r=-2，1+\frac{4}{a-6}=a$；
∴$a=\frac{7-\sqrt{41}}{2}$，或$a=\frac{7+\sqrt{41}}{2}$（舍去）；
∴$a-r=\frac{11-\sqrt{41}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查分式不等式的解法，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，已知f（x）求f[g（x）]的方法，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的值域．