3．某單位需制作一種長(zhǎng)方體包裝盒，有兩個(gè)要求：①容積為$\frac{512}{3}c{m^3}$．②包裝盒底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是寬的2倍．請(qǐng)你設(shè)計(jì)包裝盒的長(zhǎng)、寬、高，使包裝盒用料最省，并求出最小用料面積．

分析 由題意：包裝盒用料最省，即長(zhǎng)方體的表面積最�。O(shè)寬為x（x＞0）那么長(zhǎng)為2x，則高h(yuǎn)=$\frac{512}{3×2{x}^{2}}=\frac{256}{3{x}^{2}}$，
表面積S=2×寬×長(zhǎng)+2×高×長(zhǎng)+2×寬×高，可得出表達(dá)式．利用基本不等式的性質(zhì)求解最小值即可．

解答 解：由題意：設(shè)寬為x（x＞0），那么長(zhǎng)為2x，則高h(yuǎn)=$\frac{512}{3×2{x}^{2}}=\frac{256}{3{x}^{2}}$；
∴表面積S=2×寬×長(zhǎng)+2×高×長(zhǎng)+2×寬×高=4x2+$\frac{1024}{3x}$+$\frac{512}{3x}$=4x2+$\frac{1536}{3x}$
又∵4x2+$\frac{768}{3x}+\frac{768}{3x}$=$4{x}^{2}+\frac{256}{x}+\frac{256}{x}$≥3$\root{3}{4{x}^{2}•\frac{256}{x}•\frac{256}{x}}$=192．
當(dāng)且僅當(dāng)x=4取等號(hào)．
所以：當(dāng)長(zhǎng)為8，寬為4，高為$\frac{16}{3}$時(shí)，包裝盒用料最省，最小用料為192cm2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用．屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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13．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，0），且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+y2=1．

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11．若集合E={x|-1＜x＜9，x∈N}，F(xiàn)={y|y=x-5，x∈E}，則E∩F=（　�。�
A．{1，2，3}B．∅C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4}

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18．拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)是F，弦AB過(guò)點(diǎn)F，且|AB|=8，若AB的傾斜角是α，且cosα是|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|的最小值，則p的值為（　�。�
A．1B．6C．4D．3

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8．曲線C的方程為 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（\frac{3}{2}，1）$，曲線的離心率為$\frac{1}{2}$．
（I）求曲線C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P是直線y=4上任意一點(diǎn)但不在y軸上，A1，A2是橢圓的上下兩個(gè)頂點(diǎn)，直線PA1，PA2交橢圓分別為C和D，那么直線CD是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？如果經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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15．若一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，焦距為8，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$或$\frac{{y}^{2}}{18}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．

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12．在數(shù)列{an}中，an＞0，a1=$\frac{1}{2}$，如果an+1是1與$\frac{2{a}_{n}{a}_{n+1}+1}{4-{{a}_{n}}^{2}}$的等比中項(xiàng)，那么a1+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{3}^{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{4}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{2016}}{201{6}^{2}}$的值$\frac{2016}{2017}$．

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13．已知f（x）=2cos（$\frac{π}{3}$x+φ）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為（2，0），φ∈（0，π），則φ=$\frac{5π}{6}$．

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