Question

15．若一個橢圓的長軸長是短軸長的3倍，焦距為8，則這個橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$或$\frac{{y}^{2}}{18}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．

Answer 1

分析 若橢圓的焦點在x軸，可設出橢圓標準方程，并得到c，再由長軸長是短軸長的3倍可得a=3b，結合隱含條件a²=b²+c²求得a，b的值，則橢圓方程可求，若橢圓的焦點在y軸，同理可得橢圓方程．

解答 解：若橢圓的焦點在x軸，可設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），且2c=8，即c=4．
又2a=6b，∴a=3b，
結合a²=b²+c²，得9b²=b²+16，∴b²=2，
則a²=9b²=18．
∴橢圓標準方程為$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
若橢圓的焦點在y軸，同理可得$\frac{{y}^{2}}{18}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$或$\frac{{y}^{2}}{18}+\frac{{x}^{2}}{2}=1$．

點評 本題考查了橢圓標準方程的求法，考查了橢圓的簡單幾何性質，考查分類討論思想，是基礎題．