Question

18．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)是F，弦AB過(guò)點(diǎn)F，且|AB|=8，若AB的傾斜角是α，且cosα是|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|的最小值，則p的值為（　�。�

• A． 1
• B． 6
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 利用絕對(duì)值不等式，求出|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|的最小值，可得AB的傾斜角，設(shè)出直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立，利用拋物線的定義及弦長(zhǎng)公式建立方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|≥|x-1-x+$\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{2}$，
∵AB的傾斜角是α，且cosα是|x-1|+|x-$\frac{1}{2}$|的最小值，
∴α=60°，
設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），
聯(lián)立拋物線方程，可得3x²-5px+$\frac{3}{4}$p²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{5}{3}$p，x₁x₂=$\frac{1}{4}$p²，
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{8}{3}$p=8，
∴p=3．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．涉及直線與拋物線的關(guān)系時(shí)，往往是利用韋達(dá)定理設(shè)而不求．