Question

已知（

x

+

1

3 x

）ⁿ的展開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和比（1+x）²ⁿ展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和小120，求：
（Ⅰ）（1+x）²ⁿ展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（Ⅱ）設(shè)（

x

+

1

3 x

）ⁿ展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為p，展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和為q，求p+q．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（Ⅰ）求出n的值，利用二項(xiàng)式的性質(zhì)即可求（1+x）²ⁿ展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（Ⅱ）根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式求出p，q即可求p+q．

解答： 解：由題意得2^n-1+120=2^2n-1，即（2ⁿ-16）（2ⁿ+15）=0，
∴2ⁿ-16=0，解得n=4．
（Ⅰ）（1+x）²ⁿ=（1+x）⁸，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)；
則T5=

C

4 8

x4=70x4．
（Ⅱ）（

x

+

1

3 x

）⁴的通項(xiàng)公式為T_r+1=

C

r 4

(

x

)4-r•(

1

3 x

)r=

C

r 4

•(

1

3

)r•x2-r，
由2-r=0，解得r=0，
則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)T₃=

C

2 4

•(

1

3

)2=

2

3

，
則常數(shù)項(xiàng)p=

2

3

，
令x=1，則展開(kāi)式中所有項(xiàng)系數(shù)的和q=（1+

1

3

）⁴=

256

81

，
則p+q=

256

81

+

2

3

=

310

81

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)定理的應(yīng)用，根據(jù)條件求出n的值以及求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．