Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E，F(xiàn)，H分別為AB，PC，BC的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面PAH⊥平面DEF；
（Ⅲ）若二面角P-CD-B的平面角為45°，求PD與平面PAH所成的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD的中點M，利用E，F(xiàn)，H分別為AB，PC，BC的中點．可得平面AEFM是平行四邊形．即可證EF∥平面PAD；
（Ⅱ）面面垂直轉化為線面垂直證明即可．只需證明ED⊥平面PAH，即可得平面PAH⊥平面DEF．
（Ⅲ）找出PD與平面PAH所成，利用二面角P-CD-B的平面角為45°，計算邊長的關系，即求其正弦值．

解答 解：（Ⅰ）證明：取PD的中點M，連接AM，F(xiàn)M，E，F(xiàn)，H分別為AB，PC，BC的中點．
∴平面AEFM是平行四邊形．
則EF∥AM，AM?平面PAD；EF不在平面PAD內．
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）證明：E，H分別為AB，BC的中點．ABCD為正方形，
∴△ABH≌△ADE．
則∠BAH+∠AED=90°
∴AH⊥ED．
側面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，
∴PA⊥底面ABCD．
∴PA⊥ED．
∴ED⊥平面PAH．
ED?平面EFD，
∴平面EFD⊥平面PAH．
（Ⅲ）AH∩DE=O，
∵ED⊥平面PAH，連接OP，
則PO為PD在平面PAH內的射影，
可得∠OPD為線面角．即PD與平面PAH所成角．
側面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，
∴PA⊥底面ABCD，CD⊥AD，
∴∠ADP是平面PCD和CDB的二面角，即∠ADP=45°
由射影定理，可得：AD²=OD•DE．
∴OD=$\frac{2}{\sqrt{5}}a$
∴sin∠OPD=$\frac{\sqrt{10}}{5}$
∴PD與平面PAH所成的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、線面角，面面之間的關系問題和二面角問題．屬于中檔題．