Question

6．已知函數(shù)f（x）=|$\overrightarrow{MP}$-x$\overrightarrow{MN}$|（x∈R），其中MN是半徑為4的圓O的一條弦，O為原點(diǎn)，P為單位圓上的點(diǎn)，設(shè)函數(shù)f（x）的最小值為t，當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動時，t的最大值為3，則線段MN的長度為4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，函數(shù)f（x）的最小值化為點(diǎn)P到直線MN的距離，結(jié)合圖形求出t_max=3時MN的長度．

解答 解：設(shè)x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，
則函數(shù)f（x）=|$\overrightarrow{MP}$-x$\overrightarrow{MN}$|=|$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{AP}$|，其中P為單位圓O上的點(diǎn)，
∵x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，
∴點(diǎn)A在直線MN上；
∴函數(shù)f（x）的最小值t為點(diǎn)P到直線MN的距離，
當(dāng)t_max=3時，如圖所示；

線段MN的長度為|MN|=2$\sqrt{{4}^{2}-（3-1）^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了向量知識的運(yùn)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，是綜合題．