Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，△PAB，△PAD，都是邊長為2的等邊三角形．
（Ⅰ）證明：平面PDB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求點C到平面PAD的距離．

Answer 1

分析 （1）過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，證明O是BD的中點，即可證明平面PDB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）利用等體積方法求點C到平面PAD的距離．

解答 （I）證明：過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，

由△PAB和△PAD都是等邊三角形知PA=PB=PD
∴OA=OB=OD，即O為直角三角形ABD的外心
∴O是BD的中點，
∴PO?平面PDB，
∵PO⊥平面ABCD，
∴平面PDB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：由（I）可知DO=$\sqrt{2}$，PO=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
設點C到平面PAD的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{2}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴點C到平面PAD的距離為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直，考查點到面的距離的計算，考查學生轉化的能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．