Question

8．已知函數(shù)f（x）=x-（a-1）lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）在[1，e]上存在點x₀，使得f（x₀）≤0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）通過討論a的范圍，得到關于a的不等式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出a的具體范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=x-（a-1）lnx+$\frac{a}{x}$，（x＞0），
f′（x）=1-$\frac{a-1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-a）（x+1）}{{x}^{2}}$，
①a≤0時，f′（x）≥0，f（x）遞增，
②a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增；
（2）若f（x）在[1，e]上存在點x₀，使得f（x₀）≤0成立，
即f（x）_min≤0在[1，e]上成立，
由（1）得：
①a≤1時，f（x）在[1，e]遞增，f（x）_min=f（1）=1+a≤0，解得：a≤-1，
②1＜a＜e時，f（x）在[1，a）遞減，在（a，e]遞增，
∴f（x）_min=f（a）=a-（a-1）lna+1≤0，
令g（a）=a-（a-1）lna+1，（1＜a＜e），
g′（a）=$\frac{1}{a}$-lna，g″（a）=-$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{a}$＜0，
g′（a）在[1，e]遞減，
而g′（1）=1＞0，g′（e）=$\frac{1}{e}$-1＜0，
故存在a₀，使得g（a）在[1，a₀）遞增，在（a₀，e]遞減，
又g（1）=2＞0，故g（a₀）＞0，
故1＜a＜e不合題意；
③a≥e時，f（x）在[1，e]遞減，
f（x）min=f（e）=1+$\frac{a}{e}$≤0，解得：a≤-1（舍），
綜上：a≤-1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．