Question

13．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=4．
（I）已知點A的極坐標為（5，π），求過點A且與曲線C相切的直線的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知點B的極坐標為（3，0），過點B的直線與曲線C交于M、N兩點，當△OMN的面積最大時，求直線MN的極坐標方程．

Answer 1

分析 （I）把極坐標方程化為直角坐標方程，利用點到直線的距離公式、直線與圓相切的充要條件即可得出．
（II）由題意可設直線MN的方程為：my=x-3．圓心到直線的距離d=$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，|MN|=2$\sqrt{4-mouuid6^{2}}$，可得S_△OMN=$\frac{1}{2}$d|MN|=3$\sqrt{\frac{4{m}^{2}-5}{（1+{m}^{2}）^{2}}}$，通過換元，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）曲線C的極坐標方程為ρ=4，化為直角坐標方程：x²+y²=16．
點A的極坐標為（5，π），化為直角坐標：A（-5，0），
設經(jīng)過點A的切線方程為：y=k（x+5），即kx-y+5k=0，
∴$\frac{|5k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=4，化為：k²=$\frac{16}{9}$，解得k=$±\frac{4}{3}$，
可得過點A且與曲線C相切的直線的直角坐標方程為：y=$±\frac{4}{3}$（x+5）．
（II）由題意可設直線MN的方程為：my=x-3．
圓心到直線的距離d=$\frac{3}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
|MN|=2$\sqrt{4-cw4ooqn^{2}}$=2$\sqrt{4-\frac{9}{1+{m}^{2}}}$=2$\sqrt{\frac{4{m}^{2}-5}{1+{m}^{2}}}$，
S_△OMN=$\frac{1}{2}$d|MN|=3$\sqrt{\frac{4{m}^{2}-5}{（1+{m}^{2}）^{2}}}$，
令1+m²=k≥1，則m²=k-1．
f（k）=$\frac{4{m}^{2}-5}{（1+{m}^{2}）^{2}}$=$\frac{4k-9}{{k}^{2}}$，f′（k）=$\frac{4{k}^{2}-（4k-9）×2k}{{k}^{4}}$=$\frac{2（9-2k）}{{k}^{3}}$，
可知：當k=$\frac{9}{2}$時，f（k）取得最大值，$f（\frac{9}{2}）$=$\frac{4}{9}$，m²=$\frac{7}{2}$，解得m=$±\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴直線MN的直角坐標方程為：$±\frac{\sqrt{14}}{2}$y=x-3．
化為極坐標方程：2ρcosθ$±\sqrt{14}$ρsinθ-6=0．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與圓相交弦長、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．