Question

已知函數(shù)g（x）=asinx+bcosx+c
（1）當(dāng)b=0時(shí)，求g（x）的值域；
（2）當(dāng)a=1，c=0時(shí)，函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于對(duì)稱，求函數(shù)y=bsinx+acosx的對(duì)稱軸．
（3）若g（x）圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)，如果圖象上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，然后向左平移1個(gè)單位可得y=f（x）的圖象，又知f（x）=3的所有正根從小到大依次為x₁，x₂，x₃，…，x_n，…，且x_n-x_n-1=3（n≥2），求f（x）的解析式．

Answer 1

解：（1）當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)g（x）=asinx+c．
當(dāng)a=0時(shí)，值域?yàn)椋簕c}．
當(dāng)a≠0時(shí)，值域?yàn)椋篬c-|a|，c+|a|]．
（2）當(dāng)a=1，c=0時(shí)，
∵g（x）=sinx+bcosx 且圖象關(guān)于x=對(duì)稱，
∴||=，∴b=-．
∴函數(shù) y=bsinx+acosx 即：y=-sinx+cosx= cos（x+）．
由 x+=kπ，k∈z，可得函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=kπ-，k∈z．
（3）由g（x）=asinx+bcosx+c= sin（x+∅）+c，其中，sin∅=，cos∅=．
由g（x）圖象上有一個(gè)最低點(diǎn) （，1），所以 ，
∴，
∴g（x）=（c-1）sin（x-）+c．
又圖象上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，然后向左平移1個(gè)單位可得y=f（x）的圖象，則f（x）=（c-1）sinx+c．
又∵f（x）=3的所有正根從小到大依次為 x₁、x₂、x₃…x_n、…，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），
所以y=f（x）與直線y=3的相鄰交點(diǎn)間的距離相等，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直線y=3要么過(guò)f（x）的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，要么是y=，
即：2c-1=3或 1-c+c=3（矛盾）或 =3，解得c=2 或 c=3．
當(dāng)c=2時(shí)，函數(shù)的 f（x）=sin+2，T=6．
直線 y=3和 f（x）=sin+2相交，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），周期為3（矛盾）．
當(dāng)c=3時(shí)，函數(shù) f（x）=2sin+3，T=6．
直線直線 y=3和 f（x）=2sin+3相交，且 x_n-x_n-1=3 （n≥2 ），周期為6（滿足條件）．
綜上：f（x）=2sin+2．
分析：（1）當(dāng)b=0時(shí)，函數(shù)g（x）=asinx+c，分a=0和a≠0兩種情況，分別求出函數(shù)g（x）的值域．
（2）當(dāng)a=1，c=0時(shí)，由 g（x）=sinx+bcosx，且圖象關(guān)于x=對(duì)稱，求出b的值，可得函數(shù) y=cos（x+），由 x+=kπ，k∈z，求出x的解析式，即可得到函數(shù)的對(duì)稱軸方程．
（3）由g（x）圖象上有一個(gè)最低點(diǎn) （，1），求得g（x）=（c-1）sin（x-）+c．再由函數(shù)圖象的變換規(guī)律求得f（x）=（c-1）sinx+c．由題意可得，直線y=3要么過(guò)f（x）的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，或過(guò)f（x）的對(duì)稱中心．分別求出c的值，再檢驗(yàn)得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的對(duì)稱性，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．