Question

8．已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且a²+b²=c²+ab，c=$\sqrt{3}$．
數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且首項a₁=$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{sinA}{a}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=-$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過余弦定理和正弦定理，進而可知數(shù)列{a_n}是首項為$\frac{1}{2}$、公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，進而計算可得結論；
（2）通過（1）可知b_n=n•2ⁿ，進而利用錯位相減法計算即得結論．

解答 解：（1）∵a²+b²=c²+ab，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
又C為三角形的內角，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∵$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinC}{c}$=$\frac{1}{2}$，
∴q=$\frac{1}{2}$，
∵首項a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）b_n=-$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}}{{a}_{n}}$=n•2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
整理得S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．