Question

16．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以原點O為圓心，以橢圓E的半長軸長為半徑的圓與直線x-y+2$\sqrt{2}$=0相切．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設點A，B，C在橢圓E上運動，A與B關于原點對稱，且|AC|=|CB|，當△ABC的面積最小時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用橢圓的離心率公式和直線和圓相切的條件：d=r，解得a=2，b=1，即可得到橢圓方程；
（Ⅱ）討論當AB為長軸（或短軸）時，當直線AB的斜率存在且不為0時，設直線AB的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由直線AB方程代入橢圓方程，可得A的坐標，求得|OA|，求得直線OC的方程為$y=-\frac{1}{k}x$，代入橢圓方程，可得C的坐標，求得|OC|，求出△ABC的面積，運用基本不等式，可得最小值，進而得到所求直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）以原點O為圓心，以橢圓E的半長軸長為半徑的圓的方程為x²+y²=a²，
因為該圓與直線$x-y+2\sqrt{2}=0$相切，所以有$\frac{{|{0-0+2\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-1）}^2}}}}=a$，解得a=2．
又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$c=\sqrt{3}$，
故b²=a²-c²=1．
所以橢圓E的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）當AB為長軸（或短軸）時，
依題意知，點C是橢圓的上頂點或下頂點（左頂點或右頂點），
此時${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|•|{OC}|=2$，
當直線AB的斜率存在且不為0時，
設直線AB的斜率為k，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
則直線AB的方程為y=kx，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\\{y=kx}\end{array}}\right.$，解得$x_1^2=\frac{4}{{1+4{k^2}}}，y_1^2=\frac{{4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$，
所以${|{OA}|^2}=x_1^2+y_1^2=\frac{{4（1+{k^2}）}}{{1+4{k^2}}}$，
由|AC|=|CB|知，△ABC為等腰三角形，O為線段AB的中點，OC⊥AB，
所以直線OC的方程為$y=-\frac{1}{k}x$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}}\right.$，解得x₃²=$\frac{4{k}^{2}}{4+{k}^{2}}$，y₃²=$\frac{4}{4+{k}^{2}}$，
${|{OC}|^2}=x_3^2+y_3^2=\frac{{4（1+{k^2}）}}{{4+{k^2}}}$，
${S_{△ABC}}=2{S_{△OAC}}=|{OA}|•|{OC}|=\sqrt{\frac{{4{{（1+k）}^2}}}{{1+4{k^2}}}}×\sqrt{\frac{{4{{（1+k）}^2}}}{{4+{k^2}}}}$
=$\frac{{4（1+{k^2}）}}{{\sqrt{（1+4{k^2}）（4+{k^2}）}}}≥\frac{{4（1+{k^2}）}}{{\frac{{（1+4{k^2}）+（4+{k^2}）}}{2}}}=\frac{{8（1+{k^2}）}}{{5（1+{k^2}）}}=\frac{8}{5}$．
當且僅當1+4k²=4+k²，即k=±1時，上式中的等號成立，
此時△ABC的面積的最小值為$\frac{8}{5}$，
因為$2＞\frac{8}{5}$，所以△ABC的面積的最小值為$\frac{8}{5}$，
此時直線AB的方程為y=x，或y=-x．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式和直線和圓相切的條件：d=r，考查直線方程的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點，同時考查基本不等式的運用：求最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．