Question

11．判斷下列命題的真假，如果是真命題給出證明；如果是假命題，舉出反例或者說明理由．
（1）?x∈（0，+∞），lgx＜x-1；
（2）?x∈（0，$\frac{π}{2}$），1＜sinx+cosx≤$\sqrt{2}$；
（3）?x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），tanx₀≤x₀．

Answer 1

分析 （1）舉例說該命題是假命題；
（2）利用三角恒等變換求出sinx+cosx在x∈（0，$\frac{π}{2}$）內的取值范圍，即可判斷該命題是真命題；
（3）構造函數(shù)f（x）=x-tanx，x∈（0，$\frac{π}{2}$），利用f（x）的單調性證明x＜tanx，判斷原命題錯誤．

解答 解：（1）任意x∈（0，+∞），lgx＜x-1，是假命題，
如x=1時，lgx=x-1=0，命題不成立；
（2）任意x∈（0，$\frac{π}{2}$），1＜sinx+cosx≤$\sqrt{2}$是真命題；
證明如下：sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，命題正確；
（3）存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），tanx₀≤x₀是假命題；
設函數(shù)f（x）=x-tanx，x∈（0，$\frac{π}{2}$），f′（x）=1-$\frac{1}{{cos}^{2}x}$＜0，
∴f（x）在∈（0，$\frac{π}{2}$）內單調遞減；
又f（0）=0，
∴0＜x＜$\frac{π}{2}$時，f（x）＜f（0），即x-tanx＜0，x＜tanx，原命題錯誤．

點評 本題考查了函數(shù)的性質與應用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是綜合性題目．