Question

1．設函數(shù)f（x）=a²x+$\frac{{c}^{2}}{x-b}$（a，b，c為常數(shù)，且a＞0，c＞0）．
（1）當a=1，b=0時，求證：|f（x）|≥2c；
（2）當b=1時，如果對任意的x＞1都有f（x）＞a恒成立，求證：a+2c＞1．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的表達式，根據(jù)基本不等式的性質證明即可；（2）根據(jù)基本不等式的性質證明即可．

解答 解：（1）a=1，b=0時，
f（x）=x+$\frac{{c}^{2}}{x}$，x＞0時，f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{{c}^{2}}{x}}$=2c，
x＜0時，f（x）≤-2$\sqrt{（-x）•\frac{{c}^{2}}{（-x）}}$=-2c，
綜上：|f（x）|≥2c；
（2）a＞0，b＞0，b=1，x＞1時，x-1＞0，
∴f（x）=a²x+$\frac{{c}^{2}}{x-1}$
=a²（x-1）+$\frac{{c}^{2}}{x-1}$+a²
≥2ac+a²
=a（2c+a）＞a，
∴a+2c＞1．

點評 本題考查了基本不等式的性質，注意滿足性質的條件，本題是一道中檔題．