Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=m+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ-4=0
（1）若直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C沒(méi)有公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（2）若m=0，求直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=m+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，代入并整理可得t²+（$\sqrt{3}$m-1）t+m²-4=0，利用直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C沒(méi)有公共點(diǎn)，即可求m的取值范圍；
（2）若m=0，若m=0，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{3}$，代入C的極坐標(biāo)方程并整理可得ρ²-ρ-4=0，利用極徑的意義求直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng)．

解答 解：（1）曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-2x-4=0，即（x-1）²+y²=5
直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=m+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，代入并整理可得t²+（$\sqrt{3}$m-1）t+m²-4=0
∵直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C沒(méi)有公共點(diǎn)，
∴△=（$\sqrt{3}$m-1）²-4（m²-4）＜0，
∴m＜-$\sqrt{3}$-2$\sqrt{5}$或m＞-$\sqrt{3}$+2$\sqrt{5}$；
（2）若m=0，直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為θ=$\frac{π}{3}$，代入C的極坐標(biāo)方程并整理可得ρ²-ρ-4=0．
直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的弦的端點(diǎn)的極徑分別為ρ₁，ρ₂，則ρ₁+ρ₂=1，ρ₁ρ₂=-4，
∴直線(xiàn)l被曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng)=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{1+16}$=$\sqrt{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查極徑的意義，屬于中檔題．