Question

向量=（sin，cos），=（cos，cos），記．
（1）求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[-，]時(shí)，試求f（x）+f′（x）的值域．

Answer 1

解：=sinc•os+cos•cos）
=sinx+（1+cosx）=sin（x+）+，
（1）令-+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z），解之得-+2kπ≤x≤+2kπ
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是[-+2kπ，+2kπ]，（k∈Z）
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=cos（x+）
∴F（x）=f（x）+f′（x）=sin（x+）++cos（x+）=sin（x+）+
∵x∈[-，]，∴x+∈[，]
因此，當(dāng)x=時(shí)，sin（x+）=1，此時(shí)F（x）有最大值為+；
當(dāng)x=-時(shí)，sin（x+）=，此時(shí)F（x）有最小值為
所以函數(shù)F（x）=f（x）+f′（x）的值域?yàn)椋篬，+]．
分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合二倍角的正弦、余弦公式和輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，可得f（x）=sin（x+）+，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，令-+2kπ≤x+≤+2kπ（k∈Z），解之即得f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的公式，并用輔助角公式化簡(jiǎn)得f（x）+f′（x）=sin（x+）+，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出當(dāng)x∈[-，]時(shí)函數(shù)f（x）+f′（x）的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二倍角的正弦與余弦公式、輔助角公式、向量的數(shù)量積公式和正弦函數(shù)的圖象與單調(diào)性等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．