Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x-2cos²x，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調遞減區(qū)間；
（2）函數(shù)y=f（x）的圖象向右移動$\frac{π}{12}$個單位長度后得到以y=g（x）的圖象，求y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的正弦公式、余弦公式變形，兩角差的正弦公式化簡解析式，由三角函數(shù)的周期公式求出
f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的減區(qū)間求出f（x）的遞減區(qū)間；
（2）由三角函數(shù)圖象平移法則求出g（x），由x的范圍求出$2x-\frac{π}{3}$的范圍，由正弦函數(shù)的圖象與性質求出
f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由題意得，
$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-1-\frac{1+cos2x}{2}=sin（2x-\frac{π}{6}）-\frac{3}{2}$，
由T=$\frac{2π}{2}$=π得，所以f（x）的最小正周期是π，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{5π}{6}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的單調遞減區(qū)間是$[\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由題意和（1）得，$g（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）-\frac{3}{2}$，
∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，
∴當$2x-\frac{π}{3}=-\frac{π}{3}$，即x=0時，g（x）取到最小值是$g{（x）}_{min}=-\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
當$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$即x=$\frac{5π}{12}$時，g（x）取到最大值$g{（x）}_{max}=-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質，三角函數(shù)的周期公式，三角函數(shù)圖象平移變換法則，以及三角恒等變換中的公式，考查整體思想，化簡、變形能力．