Question

4．給出命題：
①在空間中，垂直于同一平面的兩個平面平行；
②設l，m是不同的直線，α是一個平面，若l⊥α，l∥m，則m⊥α；
③已知α，β表示兩個不同平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，“α⊥β”是“m⊥β”的充要條件；
④在三棱錐S-ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，則S在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心；
⑤a，b是兩條異面直線，P為空間一點，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一條平行．
其中，正確的命題是②④．（只填序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)線面垂直的性質(zhì)進行判斷，
②根據(jù)線面垂直的判定定理進行判斷，
③根據(jù)面面垂直和線面垂直的關系以及充分條件和必要條件的定義進行判斷，
④根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)合三角形垂線的性質(zhì)進行判斷，
⑤根據(jù)異面直線的性質(zhì)以及線面平行和線面垂直的性質(zhì)進行判斷．

解答 解：①在空間中，垂直于同一平面的兩個平面平行或相交，故①錯誤；
②設l，m是不同的直線，α是一個平面，若l⊥α，l∥m，根據(jù)直線平行和線面垂直的性質(zhì)得m⊥α；故②正確，
③已知α，β表示兩個不同平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，根據(jù)面面垂直的判定定理得若m⊥β，則α⊥β，反之，不一定成立，即，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件，故③錯誤；
④在三棱錐S-ABC中，過S作SO⊥平面ABC，連接AO，BO，
則SO⊥BC，
∵SA⊥BC，SA∩AO=A，
∴BC⊥平面SAO，BC⊥AO，
∵SB⊥AC，∴同理可得AC⊥BO，
即S在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心；故④正確，

⑤a，b是兩條異面直線，P為空間一點，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一條平行，錯誤．
只有當a，b垂直時，才能作出滿足條件的平面，否則無法作出，故⑤錯誤，
故正確的是②④，
故答案為：②④．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及空間線面平行，垂直以及異面直線的性質(zhì)的應用，考查學生的推理和證明能力．