Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx+2．
（1）若f（x）的切線過點(diǎn)P（0，2），求此切線的方程；
（2）若方程f（x）=kx+k（k＞0）在區(qū)間[1，e]（其中e為自然數(shù)的底數(shù)）內(nèi)有實(shí)根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，表示出切線方程，將P（0，2）代入切線，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出切線方程即可；
（2）求出k=$\frac{lnx+2}{x+1}$，（x∈[1，e]），設(shè)h（x）=$\frac{lnx+2}{x+1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）在[1，e]的最值，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）設(shè)切點(diǎn)是（x₀，lnx₀+2），
f′（x）=$\frac{1}{x}$，k=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切線方程是y-（lnx₀+2）=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
此直線過P（0，2），代入得：lnx₀=1，
∴x₀=e，
∴切線方程是y-3=$\frac{1}{e}$（x-e），
即y=$\frac{1}{e}$x+2；
（2）由f（x）=kx+k，得k=$\frac{lnx+2}{x+1}$，（x∈[1，e]），
設(shè)h（x）=$\frac{lnx+2}{x+1}$，h′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{（x+1）}^{2}}$，
設(shè)p（x）=$\frac{1}{x}$-lnx-1，p′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$＜0，
∴p（x）在[1，e]遞減，
∴x∈[1，e]時(shí)，p（x）≤p（1）=0，
∴h′（x）≤0，
∴h（x）在[1，e]遞減，
∴h（x）_最小值=h（e）=$\frac{3}{e+1}$，
h（x）_最大值=h（1）=1，
∴$\frac{3}{e+1}$≤k≤1時(shí)，f（x）=kx+k，（k＞0）在[1，e]內(nèi)有實(shí)根，
∴k的范圍是[$\frac{3}{e+1}$，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查曲線的切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．