Question

18．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0）的右焦點(diǎn)F作一條漸近線的垂線，垂足為P，線段OP的垂直平分線交y軸于點(diǎn)Q（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若△OFP的面積是△OPQ的面積的4倍，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得PF的方程，聯(lián)立漸近線方程，解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得OP的垂直平分線方程，可得Q的坐標(biāo)，運(yùn)用三角形的面積公式，結(jié)合離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
右焦點(diǎn)F（c，0），
由題意可得直線PF的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
聯(lián)立漸近線方程y=$\frac{a}$x，可得P（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
可得OP的垂直平分線方程為y-$\frac{ab}{2c}$=-$\frac{a}$（x-$\frac{{a}^{2}}{2c}$），
令x=0，可得y=$\frac{ac}{2b}$，即Q（0，$\frac{ac}{2b}$），
又|PF|=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，|OP|=$\sqrt{|OF{|}^{2}-|PF{|}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
由△OFP的面積是△OPQ的面積的4倍，
可得$\frac{1}{2}$c•$\frac{ab}{c}$=4•$\frac{1}{2}$•$\frac{ac}{2b}$•$\frac{{a}^{2}}{c}$，
即有b²=2a²，可得c²=a²+b²=3a²，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程，以及三角形的面積公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．