Question

3．已知雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1與橢圓N：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）共焦點，且橢圓N過點（2$\sqrt{2}$，1）
（1）求橢圓N的長軸長與短軸長
（2）設橢圓N與雙曲線M在第一象限的交點為A，公共的左焦點為F，求|AF|的值．

Answer 1

分析 （1）求得雙曲線的焦點坐標，可得橢圓的c=3，再由點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程和長軸長和短軸長；
（2）求得左焦點坐標，聯(lián)立雙曲線方程和橢圓方程，求得交點A的坐標，運用兩點的距離公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的焦點為（±3，0），
由題意可得橢圓的c=3，即a²-b²=9，
又橢圓N過點（2$\sqrt{2}$，1），可得$\frac{8}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
解方程可得a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
即有橢圓N的長軸長為4$\sqrt{3}$，短軸長為2$\sqrt{3}$；
（2）由題意可得F（-3，0），
聯(lián)立橢圓方程和雙曲線的方程，可得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1}\\{\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{15}}{3}$），
可得|AF|=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}+3）^{2}+（\frac{\sqrt{15}}{3}）^{2}}$=2（1+$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查雙曲線和橢圓的方程和性質，考查聯(lián)立方程組求交點，以及兩點的距離公式，考查運算能力，屬于基礎題．