Question

11．已知圓M：x²+y²-4y+3=0，Q是x軸上動點，QA、QB分別切圓M于A、B兩點，
（1）若|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求直線MQ的方程；
（2）求四邊形QAMB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線和圓相交的性質(zhì)求出MN，再利用圓的切線性質(zhì)求得Q的坐標(biāo)，再用兩點式求得直線MQ的方程．
（2）當(dāng)MQ取得最短時，四邊形QAMB面積的最小值，即Q與O重合，求得此時QA的值，接口求得四邊形QAMB面積的最小值．

解答 解：（1）圓M：x²+y²-4y+3=0，即 x²+（y-2）²=1，圓心M（0，2），半徑r=1．
由${（\frac{AB}{2}）}^{2}$+MN²=r²=1，求得：MN=$\frac{1}{3}$．
由 BM²=MN•MQ，求得MQ=3．
設(shè)Q（x₀，0），則 $\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+4}$=3，即 x₀=±$\sqrt{5}$．
所以直線MQ的方程為2x+$\sqrt{5}$y-2$\sqrt{5}$=0 或 2x-$\sqrt{5}$y+2$\sqrt{5}$=0．
（2）易知，當(dāng)MQ取得最短時，四邊形QAMB面積的最小值，即Q與O重合，
此時，QA=$\sqrt{3}$，
即四邊形QAMB面積的最小值為 1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求直線的方程，屬于中檔題．