Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}，x≥1}\\{{x^3}，x＜1}\end{array}}$，若關(guān)于x的方程f（x）=k（x+1）有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{27}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 做出f（x）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象計(jì)算y=k（x+1）與f（x）相切時(shí)的斜率，和過點(diǎn)（1，1）時(shí)的斜率，得出k的范圍．

解答 解：做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

過P（-1，0）做直線y=k₁（x+1），使得該直線過點(diǎn)（1，1），
則k₁=$\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)0＜k＜$\frac{1}{2}$時(shí)，直線y=k（x+1）與y=f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)y=k₂（x+1）與y=f（x）相切，切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=3{{x}_{0}}^{2}}\\{{y}_{0}={k}_{2}（{x}_{0}+1）}\\{{y}_{0}={{x}_{0}}^{3}}\end{array}\right.$，解得k₂=$\frac{27}{4}$．
∴當(dāng)k＞$\frac{27}{4}$時(shí)，直線y=k（x+1）與y=f（x）有兩個(gè)交點(diǎn)．
綜上，k的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$）∪（$\frac{27}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象與零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，切線的幾何意義，屬于中檔題．