Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=-4^x+2^x+1-1，g（x）=lg（ax²-4x+1），若對(duì)任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （0，4]
• B． （-∞，4]
• C． （-4，0]
• D． [4，+∞）

Answer 1

分析 由題意求出f（x）的值域，再把對(duì)任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂）轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）的值域包含f（x）的值域，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組求解．

解答 解：∵f（x）=-4^x+2^x+1-1=-（2^x）²+2×2^x-1=-（2^x-1）²≤-1，
∴?x₁∈R，f（x）=-4^x+2^x+1-1∈（-∞，-1]，
∵?x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
∴g（x）=lg（ax²-4x+1）的值域包含（-∞，-1]，
當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=lg（-4x+1），不成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，要使g（x）=lg（ax²-4x+1）的值域包含（-∞，-1]，
則ax²-4x+1≥0的解集是R，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=16-4a≤0}\end{array}\right.$，解得a≥4．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[4，+∞）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的值域，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，正確理解題意是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．