Question

10．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其離心率與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的離心率互為倒數(shù)，而直線x+y=$\sqrt{3}$恰過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A、B，上頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P是橢圓上不同于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，連接BP交直線AC于點(diǎn)M，連接CP與x軸交于點(diǎn)N，求證2k_MN-k_MB=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由雙曲線方程求出雙曲線的離心率，得到橢圓的離心率，再由直線x+y=$\sqrt{3}$恰過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)求得橢圓的半焦距，進(jìn)一步求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由題意設(shè)出BP所在直線方程，和橢圓方程聯(lián)立求出P的坐標(biāo)，再由兩直線方程聯(lián)立求得M的坐標(biāo)，結(jié)合C，P，N三點(diǎn)共線求出N的坐標(biāo)，求出MN的斜率，代入要證的結(jié)論得答案．

解答 （1）解：由$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1，得${{a}_{1}}^{2}=3，{_{1}}^{2}=1$，${{c}_{1}}^{2}={{a}_{1}}^{2}+{_{1}}^{2}=3+1=4$，
∴雙曲線離心率$e=\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$，
則橢圓離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
由x+y=$\sqrt{3}$，取y=0，可得x=$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$，
∴a=2．
則b²=a²-c²=4-3=1．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）證明：如圖，∵B（2，0），P不為橢圓頂點(diǎn)，
∴可設(shè)BP所在直線方程為y=k（x-2）（k≠0，k$≠±\frac{1}{2}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²-16k²x+16k²-4=0．
∴${x}_{P}+2=\frac{16{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{P}=\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}$．
∴${y}_{P}=k（\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}-2）=\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}$，
則P（$\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}，\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}$）．
又AC所在直線方程為y=$\frac{1}{2}x+1$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$，解得M（$\frac{4k+2}{2k-1}，\frac{4k}{2k-1}$），
由三點(diǎn)C（0，1），P（$\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}，\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}$），N（x，0）共線，
可得$\frac{\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}-1}{\frac{8{k}^{2}-2}{4{k}^{2}+1}-0}=\frac{0-1}{x-0}$，∴N（$\frac{4k-2}{2k+1}，0$），
∴${k}_{MN}=\frac{\frac{4k}{2k-1}-0}{\frac{4k+2}{2k-1}-\frac{4k-2}{2k+1}}=\frac{2k+1}{4}$．
∴2k_MN-k_MB=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，體現(xiàn)了整體運(yùn)算思想方法，屬壓軸題．