Question

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，給出下列命題：

①當時， ②函數(shù)有3個零點

③的解集為 ④，都有

其中正確命題的個數(shù)是（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1

Answer 1

【答案】A

【解析】

對于①：根據(jù)奇函數(shù)的性質即可求解；

對于②：先求出當時，函數(shù)的零點，利用奇函數(shù)的性質，就可以求出當時，函數(shù)的零點，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以有。

對于③:分類討論，當時，求出的解集；當時,求出的解集。

對于④：利用導數(shù)，求出函數(shù)的值域，就可以判斷是否正確。

對于①：當時，有,由奇函數(shù)定義可知：，所以

本命題正確；

對于②：當時， ，解得，即，根據(jù)奇函數(shù)的性質可知，又因為定義域是，所以，因此函數(shù)有3個零點，本命題正確；

對于③：當時，，即,解得，；

當時，通過①的分析，可知，當時，即，解得，，本命題正確；

對于④：當時，，，當時，，函數(shù)單調遞增；當 ，函數(shù)單調遞減，

的極大值為，

當時，，根據(jù)③可知，當時，，當時，，

所以當時，，由于是奇函數(shù)時，，

而，所以當時，，即恒成立，本命題正確。

綜上所述，有4個命題是正確的，因此本題選A。