Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設(shè)M是△A₁BD內(nèi)任一點(diǎn)（不包括邊界），定義f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分別是點(diǎn)M到平面ADD₁A₁，平面ABB₁A₁，平面ABCD的距離，若f（M）=（

1

2

，x，y），且ax+y-18xy≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,平面與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：充分利用已知條件求出x+y的關(guān)系，轉(zhuǎn)化ax+y-18xy≥0恒成立為a的不等式，通過基本不等式求出表達(dá)式的最大值，然后求出a的最小值即可．

解答： 解：如圖取CD的中點(diǎn)R，AB的中點(diǎn)GA₁B₁的中點(diǎn)S，由題意可知平面RGS到平面
ADD₁A₁的距離為：

1

2

，平面RGS與平面△A₁BD的交線為EF，所以M在EF上運(yùn)動(dòng)．
f（M）=（

1

2

，x，y），x，y分別是點(diǎn)M到平面ABB₁A₁，平面ABCD的距離，如圖中紅線段，三角形EGF是等腰直角三角形，所以x+y=

1

2

，并且0＜x＜

1

2

，0＜y＜

1

2

．
ax+y-18xy≥0恒成立，
即a≥

18xy-y

x

=

(18x-1)y

x

=

(18x-1)( 1 2 -x)

x

=10-（18x+

1

2x

）．
18x+

1

2x

≥2

18x• 1 2x

=6，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

6

時(shí)，等號成立，
此時(shí)10-（18x+

1

2x

）≤4．
∴a≥4．
故答案為：4．

點(diǎn)評：本題考查空間幾何體中，點(diǎn)的軌跡問題，基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)恒成問題，難度比較大．