Question

12．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F到準線的距離為$\frac{1}{2}$．過點A（x₀，0）（x₀≥$\frac{1}{8}$）作直線l交拋物線C于P，Q兩點（P在第一象限內）．
（1）若A與焦點F重合，且|PQ|=2．求直線l的方程；
（2）設Q關于x軸的對稱點為M，直線PM交x軸于B，且BP⊥BQ．求點B到直線l的距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出拋物線的焦點坐標，然后假設直線l的方程為：x=ny+$\frac{1}{4}$，將P，Q的坐標設出，聯(lián)立直線和拋物線方程消去x得到兩根之和，然后根據(jù)|PQ|的長度得到n的值．
（2）證明點B的坐標是（-x₀，0）．確定△BMQ為等腰直角三角形，得到k_PB=1，再表示出點B到直線l的距離d即可求范圍．

解答 解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F到準線的距離為$\frac{1}{2}$，
∴p=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線C：y²=x得拋物線的焦點坐標為（$\frac{1}{4}$，0），
設直線l的方程為：x=ny+$\frac{1}{4}$，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{x=ny+\frac{1}{4}}\end{array}\right.$得y²-ny-$\frac{1}{4}$=0．
所以△=n²+1＞0，y₁+y₂=n．
所以|PQ|=x₁+$\frac{1}{4}$+x₂+$\frac{1}{4}$=（x₁+x₂）+$\frac{1}{2}$=n（y₁+y₂）+1=2．
所以n²=1．即n=±1．
所以直線l的方程為：4x-4y-1或4x+4y-1=0；
（2）設B（x_B，0），則$\overrightarrow{BM}$=（x₂-x_B，-y₂），$\overrightarrow{BP}$=（x₁-x_B，y₁）．
由題意知：$\overrightarrow{BM}$∥$\overrightarrow{BP}$，∴x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂．
即（y₁+y₂）x_B=x₁y₂+x₂y₁=y₁²y₂+y₂²y₁=（y₁+y₂）y₁y₂．
顯然y₁+y₂=m≠0，∴x_B=y₁y₂=-x₀．∴B（-x₀，0）．
由題意知：△BMQ為等腰直角三角形，∴k_PB=1，
即$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，∴y₁-y₂=1．
∴（y₁+y₂）²-4y₁y₂=1．∴m²+4x₀=1．∴m²=1-4x₀＞0．
∴x₀＜$\frac{1}{4}$．
∵x₀≥$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{1}{8}$≤x₀＜$\frac{1}{4}$．
∴d=$\frac{2{x}_{0}}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{2{x}_{0}}{\sqrt{2-4{x}_{0}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{（\frac{1}{{x}_{0}}-1）^{2}-1}}$∈[$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{1}{2}$）．
即d的取值范圍是[$\frac{\sqrt{6}}{12}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題主要考查拋物線和直線的綜合題．圓錐曲線和直線的綜合題是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．