Question

6．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB=$\sqrt{2}$，AA₁=2，D為AA₁的中點(diǎn)，BD與AB₁交于點(diǎn)O，CO⊥側(cè)面ABB₁A₁．
（Ⅰ）證明：CD⊥AB₁；
（Ⅱ）若OC=OA，求三棱錐B₁-ABC的體積．

Answer 1

分析 （I）由平面幾何知識(shí)可得AB₁⊥BD，又AB₁⊥OC，得出AB₁⊥平面BCD，故而CD⊥AB₁；
（II）利用三角形的面積求出OA，即OC的長，代入體積公式${V_{{B_1}-ABC}}={V_{C-AB{B_1}}}$=$\frac{1}{3}{S_{△AB{B_1}}}×CO$計(jì)算即可．

解答 證明：（Ⅰ）在RT△ABD中，$tan∠ABD=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，在RT△ABB₁中，$tan∠A{B_1}B=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴∠ABD=∠AB₁B，
∴$∠ABD+∠BA{B_1}=∠A{B_1}B+∠BA{B_1}=\frac{π}{2}$，
∴AB₁⊥BD，
又CO⊥側(cè)面ABB₁A₁，AB₁?平面ABB₁A₁，
∴AB₁⊥CO．又BD?平面BCD，OC?平面BCD，BD∩CO=O，
∴AB₁⊥平面CBD，∵CD?平面BCD，
∴AB₁⊥BC．
（Ⅱ）在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{A{B^2}+A{D^2}}=\sqrt{3}$，$OC=OA=\frac{AD×AB}{BD}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
${V_{{B_1}-ABC}}={V_{C-AB{B_1}}}$=$\frac{1}{3}{S_{△AB{B_1}}}×CO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}AB×B{B_1}×OC$=$\frac{1}{6}×\sqrt{2}×2×\frac{{\sqrt{6}}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{9}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．