Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx+cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的兩條相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求ω的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再將所得函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)y=g（x）-k在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上存在零點，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式降冪，再由兩角和的正弦化積，結合f（x）的兩條相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$求得f（x）的最小正周期，則ω可求；
（2）利用三角函數(shù)的圖象變換求得g（x）=cosx，由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，得g（x）∈[$-\frac{1}{2}$，1]．結合函數(shù)y=g（x）-k在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上存在零點，可得實數(shù)k的取值范圍是[$-\frac{1}{2}$，1]．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx+cos²ωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1+cos2ωx}{2}-\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx=sin（2ωx+\frac{π}{6}）$．
∵f（x）的兩條相鄰對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
∴f（x）的最小正周期為2×$\frac{π}{2}=π$．
∴$\frac{2π}{2ω}=π$，ω=1；
（2）f（x）=sin（2x$+\frac{π}{6}$），
將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x．
再將函數(shù)y=cos2x的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=cosx的圖象，
∴g（x）=cosx．
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴g（x）=cosx∈[$-\frac{1}{2}$，1]．
∵函數(shù)y=g（x）-k在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上存在零點，
∴k∈[$-\frac{1}{2}$，1]．
∴實數(shù)k的取值范圍是[$-\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質，是中檔題．